席南華院士：數(shù)學的意義

2020年5月30日，中國科學院院士、中國科學院數(shù)學與系統(tǒng)科學研究院研究員席南華受邀作遠程報告“數(shù)學的意義”，從數(shù)學的發(fā)展史、數(shù)學的特性、數(shù)學巨匠的一些觀點以及數(shù)學美的含義等多個角度講述了數(shù)學的意義。

本文為報告文字整理版，后附觀眾問答。文字素材經(jīng)授權(quán)取自“中國數(shù)學會”，《返樸》做了二次修訂和編排，小節(jié)和標題為編者所加。

提要：

數(shù)與形導出的數(shù)學發(fā)展史數(shù)學的獨特貢獻：認識無限數(shù)學是什么數(shù)學的純粹和無處不用數(shù)學的思維之美數(shù)學的邏輯之美數(shù)學的形美那些有個性的數(shù)學家演講｜席南華（中國科學院院士、中國科學院數(shù)學與系統(tǒng)科學研究院研究員）

謝謝主持人的介紹，我今天要說的是“數(shù)學的意義”。

數(shù)學，要說愛你不容易，不管你是天才還是庸人，都是它虐待的對象，差別在于有人在這虐待的過程中得到快樂，但大部分人得到的是痛苦。痛苦的一個根源是其實我們并不認識它，撇開我們在與數(shù)學打交道的過程中的不愉快或愉快，今天讓我們從另一個角度、一個輕松的帶著喝下午茶的心情，帶著一個旁觀者的心態(tài)，來看一看數(shù)學的意義。

1 數(shù)與形導出的數(shù)學發(fā)展史

提起數(shù)學，我們會想到什么？從小學到大學都有數(shù)學課，它在最重要的課程行列。我們也知道，在日常生活和科學技術(shù)中，它很有用。除此之外可能就想的不多了。換句話說，對數(shù)學的本質(zhì)，它為什么有用，甚至更進一步為什么有數(shù)學，數(shù)學除了實用以外還有什么別的含義，就不大想了，這似乎是和我國文化的實用主義是有關(guān)系的。在這樣的背景下，可以說我們對數(shù)學的認識是很不足的，我們看見的實用只是數(shù)學的一個面，是冰山一角。

數(shù)學理論的源頭在古希臘，我們有誰不知道歐幾里得幾何原本呢？它的數(shù)學發(fā)展的水平之高，即便在今天看來，都是讓人感到非常吃驚的。它為什么會是這個樣子，它的產(chǎn)生當然與希臘當時的文化和哲學是分不開的?？缭綍r空，讓我們來到2000多年前的希臘，看他們是怎樣認識數(shù)學的。他們說，“數(shù)學是現(xiàn)實的核心，萬物皆數(shù)，數(shù)統(tǒng)治著宇宙”等觀點，都是出自畢達哥拉斯學派，柏拉圖學派是深受畢達哥拉斯學派的影響。

我們都知道數(shù)學研究量與形，但這么說還難以感受數(shù)學的重要性，也很難聯(lián)想到數(shù)學是現(xiàn)實的核心。大家想一下，有什么東西沒有量與形的屬性呢？換句話說，量與形是物質(zhì)與事物的基本屬性，不管是什么東西，它的這兩個屬性是擺脫不掉的。數(shù)學研究就是這些基本的屬性，這決定了數(shù)學的價值，也使我們明白，數(shù)學它是基礎(chǔ)而重要的。說它是現(xiàn)實的核心也就不奇怪了。

如果我們想要對數(shù)學有很好的認識的話，就有必要回顧一下，歷史上它是怎么產(chǎn)生的。為什么能夠產(chǎn)生數(shù)學、人們是怎樣一步步建立數(shù)學體系的？就是說，在遙遠的過去數(shù)學是什么樣子？

其實整個歷史過程是非常的漫長，數(shù)學有很長的歷史，不像有些學科非常的短，可能就是20世紀開始的，但數(shù)學不一樣，它作為一個獨立的、有理論的學科出現(xiàn)，還是2000多年前。應(yīng)該說公元前600年到公元前300年期間，歐幾里得《幾何原本》它就是一個光輝的典范，它把古代時候的數(shù)學都系統(tǒng)的整理出來，用公里化的方法處理，整個思維體系影響了后面兩千多年。他的幾何《原本》也在2000多年間是標準的教科書。幾乎同時，亞里士多德的學生歐德摩斯就寫有數(shù)學史的著作，所以數(shù)學史人們很早就關(guān)注它了。

不過，比起人類和人類文明的歷史，數(shù)學的歷史要短暫得多。在一萬多年前人類就開始定居于一處，靠農(nóng)牧業(yè)生活，在中國的考古中，包括周口店的頭骨，我們都能看出來。不過文字的出現(xiàn)卻要晚的多，大約在公元前3200年的時候。文字的出現(xiàn)對整個文明來講是極其重大的事情，在我國古代認為這一是件泣鬼神的事情，在沒有文字的時候，你想要在數(shù)學上有重要的發(fā)展，那是不可想象的，所以文字出現(xiàn)以前，數(shù)學的發(fā)展其實是非常緩慢的。

我們都有一個深刻的印象，就是數(shù)學的抽象特點。即便是一個非常簡單的概念，數(shù)，就是一個抽象的概念，你在大自然中間看不到一個抽象的數(shù)，比如1。抽象的數(shù)的發(fā)展其實也是非常緩慢的，類似的概念包括線段、直線、三角形、圓等等也是一樣。數(shù)的概念據(jù)人們研究也并不是僅僅只有人獨有，據(jù)說有些動物也有數(shù)的概念。人們提煉數(shù)的概念其實經(jīng)過了一個很漫長的時間，開始的時候人們對數(shù)的觀念是與具體的物品聯(lián)系在一起的，比如說一棵樹、一塊石頭、兩個人、兩條魚等等，對形也是一樣的。

逐漸地，人們發(fā)現(xiàn)了一棵樹、一塊石頭等具體物體的共同的數(shù)字屬性，數(shù)的抽象概念就這樣形成了。數(shù)，是自然界若干物體的共同數(shù)字屬性，這是一個抽象的概念，你在自然界當中不能直接找到。我們今天可能沒有意識到，其實這在人類認識自然的過程中間是一個巨大的飛躍。實際生活的需要產(chǎn)生了數(shù)字間的計算，比如說要分配食物、交換物品、到指定日期前的天數(shù)等等，這都需要對數(shù)進行一個計算。我們?nèi)粘Ｉ钪虚g對數(shù)學的認識，說數(shù)學有用，很多時候都停留在這個階段，比如說會算帳、會分配什么東西等等，它其實是對數(shù)學的一個誤解。

還有一件很重要的事情，就是要給數(shù)一個名稱，并且能夠記下來告訴別人，這件事情也并不是一件很簡單的事情，所以在文字剛產(chǎn)生之初就引進了數(shù)學符號，這在算術(shù)的發(fā)展上是非常重要的。一般的算術(shù)符號和公式、未知數(shù)的符號等是很晚才完成的，包括我們現(xiàn)在熟悉的常用的加減乘除的符號、代數(shù)符號都是很晚很晚（才完成的）。像現(xiàn)在的代數(shù)符號是到了16、17世紀意大利數(shù)學家韋達引進的，他對代數(shù)學的發(fā)展起了一個巨大的作用。

算術(shù)最早是在巴比倫和埃及那里發(fā)展起來的，它由于實際生活的需要，包括稅收、丈量土地、貿(mào)易、建筑和天文等等。雖然數(shù)學發(fā)展到今天已經(jīng)非常抽象，但它的來源還是實際的生活與生產(chǎn)。不過需要說清楚的是，這里所產(chǎn)生的只是一些計算的規(guī)則和問題的解答，算術(shù)的這種形式并不是數(shù)學理論，原因在于它沒有關(guān)于數(shù)的普遍的定義。前些年，也許現(xiàn)在還有，有一個電視臺的《最強大腦》里面可以看到有些人算得很快。一個運算能力非常強的人，大家會有一些誤解，以為這些人都有很強的數(shù)學能力，其實這是一個誤會，他有數(shù)字的運算能力卻不一定有數(shù)學的能力。從實際后來發(fā)展的情況來看，他們其實并沒有數(shù)學的能力，原因在于他們對于數(shù)的普遍規(guī)律沒有什么深刻的認識，所以不具備數(shù)學的天賦。

向理論算術(shù)的過渡是逐漸進行的。在古代像中國、巴比倫、埃及就已經(jīng)知道百萬以上的數(shù)了。我們看《史記》上的記載，在戰(zhàn)國時代，它的戰(zhàn)爭規(guī)模就已經(jīng)非常龐大了，打起仗來動用士兵經(jīng)常幾十萬、上百萬等等，雖然我們今天都習以為常。我們現(xiàn)在的孩子數(shù)數(shù)1、2、3……都會數(shù)下去，但是在他的意識里邊，是不是會想著這個數(shù)能夠一直數(shù)下去？可能知道，也可能不知道。數(shù)是不是會到某個地方截止了？這個也是不清楚的。在古代最偉大的科學家阿基米德專門有一本書叫《數(shù)砂法》，里面明確指出了命名大量砂粒的數(shù)目的方法，這在當時是一件需要詳細解釋的事情。其實今天遇到天文數(shù)字，我們也很難具體的數(shù)一數(shù)，我們可能到百萬、到億、到萬億等等，再往大了，一般人也用不到那些數(shù)字，也不知道怎么稱呼，最后籠統(tǒng)的就會用一個數(shù)字——天文數(shù)字來表述它。對于很大的數(shù)字要給它命名，在古代不容易，在今天其實也沒那么容易。

在公元前三世紀的時候，希臘人明確意識到兩個重要的思想：數(shù)列可以無限地延續(xù)下去；不但可以運用具體的數(shù)，還可以討論一般的數(shù)，從而證明關(guān)于數(shù)的普遍定理。比方說《幾何原本》里面就證明了素數(shù)有無窮多個，這是關(guān)于數(shù)的普遍的定理。這個時候，數(shù)學理論就產(chǎn)生了。

算術(shù)概念其實反映了物體集合量的關(guān)系，這些概念是在分析和概括大量實際經(jīng)驗的基礎(chǔ)上加以抽象化而產(chǎn)生的，并且是逐漸產(chǎn)生的。剛開始是與具體對象相連的數(shù)，然后是抽象的數(shù)，再就是一般的數(shù)。但有意思的一件事情是，每一個階段都依賴先前的概念和積累的經(jīng)驗，這是數(shù)學概念形成的基本規(guī)律之一，其實其他的科學也是一樣的，要形成一個概念，都要依賴于前面的積累。

算術(shù)讓人信服的一個根源，在于它的結(jié)論和概念是運用邏輯方法得到的，邏輯方法和概念都是以數(shù)千年的實踐為基礎(chǔ)，以世界的客觀規(guī)律為基礎(chǔ)。我們對數(shù)學的邏輯都是非常信服的，邏輯也不是憑空產(chǎn)生的，它也經(jīng)過了一個漫長的過程，以數(shù)千年的實踐為基礎(chǔ)，以世界的客觀規(guī)律為基礎(chǔ)。這種想法以為我們的邏輯能夠獨立于這個世界，但它是不合適的，這當然也就意味著邏輯也有它的局限，邏輯是非常詭異的，它的詭異性遠遠超出我們的想象。

盡管算術(shù)的概念是抽象的，但有廣泛的應(yīng)用，原因在于它的概念和結(jié)論概括了大量實踐經(jīng)驗，在抽象的形式里面表現(xiàn)出現(xiàn)實世界那些經(jīng)常和到處碰到的關(guān)系。計算的對象可以是不同的，是動物、農(nóng)產(chǎn)品、星球等等，它舍棄了所有局部和具體的東西，抽取了某些普遍的性質(zhì)，這就是數(shù)字的共同屬性。性質(zhì)的普遍性其實決定了應(yīng)用的廣泛性，抽象的價值就在這個地方。

算術(shù)的抽象性保證了廣泛應(yīng)用的可能性，這種抽象并不是空洞的，而是來源于長期實踐的經(jīng)驗。對于全部的數(shù)學，對于任何抽象概念和理論，它其實都是一樣的。理論應(yīng)用廣泛的可能性取決于其中所概括的原始材料的廣泛性。要說清楚一點，抽象與空洞不是一回事。我們經(jīng)常會看到，某個人說的話真空洞，他說的話好像沒什么內(nèi)容等等，不管報紙上還是很多領(lǐng)導的講話也好，都有這個印象，原因在于它里面并不概括什么實際的內(nèi)容，而僅僅是形式上給你一些正確的東西，這種形式上正確的東西其實并沒有什么價值。而數(shù)學上的抽象并不是一個形式的東西，它來源于長期的實踐經(jīng)驗。對于任何數(shù)學，對于任何其他的科學包括哲學等等都是一樣的，需要概括一些非常廣泛的東西，并且有實際的豐富的內(nèi)容。還是這么說，理論應(yīng)用廣泛的可能性取決于概括的原始材料的廣泛性，如果概念本身概括的東西很少的話，希望它能夠有廣泛的應(yīng)用，那是不現(xiàn)實的。

毫無疑問，抽象也會有它的局限性，因為在抽象的過程中間會丟棄掉很多東西，只反映對象部分的屬性。常常也是這樣，僅有數(shù)據(jù)是不夠的，我們現(xiàn)在生活在一個信息時代，大數(shù)據(jù)的時代，大家對數(shù)據(jù)的強調(diào)到了非同尋常的地步，認為數(shù)據(jù)要主宰這個世界的一切一樣。但是從過去的經(jīng)驗來看，它可能還做不到這一點。數(shù)據(jù)只是事物的一部分屬性而已，換句話說不能無限制的運用抽象的概念，就像把一只羊和一頭狼加在一起，一升水和一升酒混在一起，它都不是算術(shù)一加一的應(yīng)用，雖然可能有些商人會在酒里兌水，我們也有個非常有名的動畫片《喜洋洋與灰太郎》等等。真理是具體的，雖然數(shù)學是抽象的。把抽象應(yīng)用到具體是一種藝術(shù)和一種技術(shù)。

有意思的一件事情就是我們的思維常常是會超出實踐提出的任務(wù)這些要求以外很遠，這非常有意思，比如十億或者百億這樣的大數(shù)字概念，它當然是在計算中間產(chǎn)生的，很早很早就有了。但這些概念出現(xiàn)的時候其實沒什么用處，直到后來才有用?？茖W里有很多這樣的東西，剛開始出現(xiàn)的時候沒有什么用處，我們后面還會舉一些例子，這就是說我們實用的一些哲學觀點，可能要避免。這種例子在科學上很多，舉個簡單的例子，大家在高中的數(shù)學里面有復數(shù)，我們知道求方程的時候都要求根是一個實根等等，但是對于X2+1=0這樣一個方程，我們就沒有根了，沒有根怎么辦？那就不存在了。得出這個結(jié)論，但是我們又不滿足，最后又引進了一個根，虛數(shù)。從這個概念本身就知道，它是一個虛構(gòu)的，它是想象出來的，不存在。但是到了后來，這個數(shù)非常的重要，由于虛數(shù)的引進之后我們就有了復數(shù)的概念，復數(shù)上的數(shù)學是非常龐大和深刻的。陳省身先生對復數(shù)就非常著迷，他說復數(shù)太迷人，你怎么都參不透它，里面有很多的東西是那么神秘，那么深刻。他晚年致力于的一項工作就是證明一個六維的球面上有復結(jié)構(gòu)，但一直都沒有做下來。當然這個問題到現(xiàn)在誰也沒有做下來，所以他沒有做出來也一點不奇怪。

類似地，線段、直線、圓和三角形等等抽象概念，也是逐步發(fā)展起來的，它是一些物體的共同的空間屬性，是形方面的屬性。和算術(shù)一樣，它產(chǎn)生于實踐，然后逐步形成數(shù)學的理論，現(xiàn)在已經(jīng)是及其龐大的理論了。形的概念，也從我們熟悉的點、線、面等等變得非常陌生，比方說在三維空間里面，把所有過圓點的實線拉出來，它也是一個非常好的結(jié)構(gòu)，是一個射影空間。

幾何的抽象當然也是很明顯的，因為這里頭點沒有大小、線沒有寬度厚度，面也沒有厚度，它只是現(xiàn)實世界物體的一個空間屬性的抽象，在現(xiàn)實中間你看不到這樣的點、線和面。對這些抽象的空間形式是沒有辦法做實驗的，所以只能用邏輯推理的方法從一些結(jié)論導出另一些結(jié)論，重要的是我們需要認識到這些結(jié)論其實是現(xiàn)實世界的抽象的一個反映。

幾何和算術(shù)一樣，它原始概念的明顯性、推理的方法、結(jié)論的令人信服都如同算術(shù)那樣，以實踐和世界客觀規(guī)律為基礎(chǔ)。既然以實踐為基礎(chǔ)，也就意味著它會有局限，就會有人想，我們直觀提煉出這些概念，是不是很好的反映了現(xiàn)實？很久很久以前人們是很有信心的，但隨著科學的發(fā)展，或者說隨著人們對幾何公里深入分析的時候，這個信念就動搖了。大家知道對歐幾里得幾何第五公式的討論和思考，最后導致了非歐幾何，那非歐幾何中的黎曼幾何對相對論是非常重要的，更好的描述了我們的宇宙。所以我們來源于實踐中的很多東西，到后來又經(jīng)過不斷的修正，通過實踐和理性的思考。

在數(shù)學里面，量與形是事物的基本屬性。毫無疑問，分開討論量的屬性和形的屬性都是不夠的，他們兩者必然會有聯(lián)系、互相有制約。數(shù)學分支之間的聯(lián)系互相滲透，是有特別重大的意義的，它有力的推動了數(shù)學的前進，并揭示了這些分支所反映的現(xiàn)實世界關(guān)系的豐富多彩。我們現(xiàn)在非常強調(diào)交叉，原因就在于不同的學科其實都是現(xiàn)實中間不同角度的反映而已，只有把它結(jié)合起來，才能對這個現(xiàn)實有更全面的認知。這有點類似于盲人摸象，每個學科可能只摸到一個局部、一個側(cè)面而已，把所有的合起來，我們就會對這個“象”有個更完整的認識了。

回到算術(shù)與幾何，它同樣有密切的聯(lián)系，不僅互相作用，而且是產(chǎn)生進一步的一般概念、方法和理論的來源。這一點非常的重要，就像我們現(xiàn)在的交叉，它不斷產(chǎn)生新的概念、方法、理論等等。數(shù)學和化學結(jié)合到一起就會有計算化學；數(shù)學和物理的結(jié)合一直是非常緊密的，（它們的結(jié)合）有數(shù)學物理；還有計算生物學等，像現(xiàn)在很多數(shù)學家轉(zhuǎn)去做生物，我知道有些美國的數(shù)學家轉(zhuǎn)去做生物之后，結(jié)果成為美國科學生物方向的院士，這樣的例子還有很多。

算術(shù)和幾何是數(shù)學成長的兩個根源，其密切的聯(lián)系在剛開始就有了。比方說簡單的一個長度測量就已經(jīng)是算術(shù)和幾何的結(jié)合了。當你測量物體的時候，會把單位長度的東西放在物體上面，然后數(shù)一數(shù)共放了多少次，其中第一步“放”的時候就是一個幾何的性質(zhì)——全等，第二步“數(shù)”當然是算術(shù)的做法。

在測量時候常常會發(fā)現(xiàn)，選用的單位不能在被測的物體上放置整數(shù)次，這時候就必須把單位加以分割，以便利用單位的一部分來更準確的表示量，這就已經(jīng)超出整數(shù)的范圍了，要用分數(shù)來表示這個量，分數(shù)就這樣產(chǎn)生了。這是幾何與算術(shù)相互作用的結(jié)果，它引起了數(shù)的概念從整數(shù)到分數(shù)的推廣，這也是數(shù)的概念非常重要的一步，分數(shù)就這樣產(chǎn)生了。直接在自然界中間還形成不了分數(shù)的概念，但是通過幾何與算術(shù)的聯(lián)系，它就產(chǎn)生了。

不過無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)，還不能通過測量實現(xiàn)，因為在實際測量中間，如果分割和度量達到過于細小的程度時候，這些細小的量就會被直接忽略掉，也做不到無限精確的測量，而且無限精確也沒有意義。

勾股定理告訴我們，單位邊長的正方形對角線的長度就是2的平方根，這樣數(shù)的概念就進一步發(fā)展了。而且逐漸的人們把數(shù)理解為某個量與被取做單位量的比值，可以不再把數(shù)與具體物體量的屬性聯(lián)系起來，這意味著對數(shù)的認識又比前面進了一大步，它是兩個量的比，比如3/5，就是3和5的比值，和測量、和數(shù)（shǔ）數(shù)（shù）都沒有任何的關(guān)系。

這里要特別強調(diào)一下無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)。我們可能都知道，在古希臘的時候，人們利用勾股定理，他們叫做畢達哥拉斯定理，發(fā)現(xiàn)了單位邊長的正方形不能夠被有理數(shù)度量的時候，希臘人是感到震驚的。他們認為這些事情好像破壞了世界的美一樣，不能理解這件事情。但它既然這樣自然的產(chǎn)生，當然在數(shù)學里面有重大的意義。從哲學上來講，它的發(fā)現(xiàn)也是數(shù)學理論在揭示自然規(guī)律和現(xiàn)象的威力深刻性上一個典型的例子?？赡芪覀兤匠]有意識到這一點，就是無理數(shù)沒有數(shù)學理論是發(fā)現(xiàn)不了的，其他的手段包括測量、抽象、實驗等等，都發(fā)現(xiàn)不了，只有數(shù)學理論能夠告訴你世界存在無理數(shù)，而且會有很多很多。后面我們還會談到一些其他東西，比如說無窮也同樣只有數(shù)學能做到，別的科學做不到。

數(shù)的概念進一步的發(fā)展就是實數(shù)，然后就是復數(shù)，到了后來就是代數(shù)結(jié)構(gòu)，這個地步已經(jīng)到了比較高深的數(shù)學了。換句話在我們?nèi)粘Ｉ钪虚g不一定能夠直接感受到，可能也不需要感受到，專家會給我們忙這些事情，（把它們）運用到物理、通信、航天等地方。

關(guān)于數(shù)與形的聯(lián)系，華羅庚先生有一個非常深刻的見解，他說：“數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微。”確實是這樣，你把這兩個統(tǒng)一起來考慮的時候，對這兩者的認識都會變得更深刻。如果你孤立的來考慮，不會走的那么遠。

2 數(shù)學的獨特貢獻：認識無限

簡單地談一下歷史之后，我們應(yīng)該說數(shù)學了。數(shù)學應(yīng)該是從數(shù)（shǔ）數(shù)（shù）開始的，我們有誰不會數(shù)數(shù)呢？在幼兒園里的孩子都會1、2、3……這么數(shù)下去。一般孩子數(shù)到100，可能他的爸爸媽媽就讓他過去了。不過有些望子成龍的家長可能會讓他一直數(shù)到N，數(shù)到一個抽象的N。一般可能想不到用正整數(shù)把所有整數(shù)都數(shù)一數(shù)，其實這是可能的，一個數(shù)法就是從零開始，然后一個負數(shù)一個正數(shù)、一個負數(shù)一個正數(shù)，結(jié)果就把整數(shù)這么一個個排下去了。這件事情有點意思，也說明數(shù)數(shù)好像沒有那么簡單。

接下來我們就可能會想著用正整數(shù)去數(shù)有理數(shù)，剛開始看這似乎是不可能的一件事情，但出人意料這也是可能的。有理數(shù)是兩個整數(shù)的比，當然前面還有一個正負號，我們可以要求這個分子分母沒有大于1的公因子，把分子分母都加起來，先按這個值大小分成若干部分，這時可以用整數(shù)去數(shù)。然后對于固定的和，這里的有理數(shù)肯定是有限的，那這部分又能數(shù)。這樣操作下去之后，結(jié)果發(fā)現(xiàn)有理數(shù)也能數(shù)，從零開始，然后接下來就是分子分母都是1的數(shù)，只有1和負1；那分子分母加起來是3的時候，那就是1/2，2，-1/2，-2；加起來是4的時候就是1/3，3，-1/3，-3等等。這個樣子就把有理數(shù)全部都數(shù)下去了，這應(yīng)該說數(shù)數(shù)還是非常有意思的一件事情。

那接下來你可能想繼續(xù)用整數(shù)來數(shù)實數(shù)，但很遺憾，實數(shù)確實沒辦法用整數(shù)來數(shù)。這顯示出實數(shù)和有理數(shù)、整數(shù)之間，從無窮的觀點來看，它是有巨大差別的。而且有理數(shù)雖然看起來亂糟糟，我們還是能夠把它數(shù)清楚，但實數(shù)我們做不到這一點。證明并不難，我們這里不用去管它了。

這里馬上就會產(chǎn)生一個問題，在自然數(shù)全體和實數(shù)全體之間有沒有一個數(shù)的集合，它一方面沒有辦法數(shù)，或者說我們不能像整數(shù)那樣數(shù)下去；另一方面它和實數(shù)全體也不一樣多，也就是說你不能和實數(shù)集建立一一對應(yīng)，一一對應(yīng)通俗的語言說來就是旗鼓相當，數(shù)學的語言就是等式，就是勢力相等的意思。這個問題看起來很自然，問的就是像在1和2之間有沒有整數(shù)一樣。不過大家可能意識不到的事情是，這個問題在數(shù)學里面是特別重要的一個問題，一個很基礎(chǔ)的問題。

康托是集合論的創(chuàng)始人，他提出這樣一個假設(shè)——連續(xù)統(tǒng)假設(shè)，說這樣的集合沒有。大家可能知道，在1900年國際數(shù)學大會上，偉大的數(shù)學家希爾伯特提了23個問題，這23個問題中的第一個問題就是連續(xù)統(tǒng)假設(shè)，可見這個問題在數(shù)學中的重要性。數(shù)學家們花了很大的力氣來研究它。哥德爾，偉大的奧地利數(shù)學邏輯學家，他在1940年就證明了連續(xù)統(tǒng)假設(shè)和我們現(xiàn)在這個邏輯體系是沒有矛盾的，沒有矛盾還不能說它對。又過了23年到1963年，一位美國數(shù)學家科恩，他發(fā)明了一種非常有的辦法，叫做力迫法，證明這個結(jié)論否定的一面和我們現(xiàn)在的邏輯體系也是沒有矛盾的。這個事情就變得詭異起來了，換句話說這么簡單自然的一個問題，在邏輯上來講，我們證明不了它是對或者錯，就像在我們?nèi)粘Ｉ钪幸痪湓捯粯樱骸罢f你行你就行，說你不行你就不行”，這讓我們對邏輯產(chǎn)生了很奇怪的感覺，原來它也有它不能的時候?？贫饕驗檫@項工作，在1966年獲得了菲爾茲獎。在取得了這項偉大的成就之后，他心氣高昂，覺得數(shù)學里面沒什么問題值得他研究，除了有一個問題叫黎曼猜想——數(shù)學里面最著名的一個問題?？贫骱髞淼挠嗌椭铝τ谘芯坷杪孪?，他這個心勁有點類似于我們古代唐詩所描述的境界“曾經(jīng)滄海難為水”。很可惜，科恩已經(jīng)去世了，黎曼猜想還依然活著，誰也沒辦法證明它。

在這個地方我們可以看出來，邏輯實際上比我們想的詭異的多，很多時候我們對它的認識可能還不那么透徹。關(guān)于邏輯我愿意在這里再多說一點點，一般人對于數(shù)學的邏輯都非常有信心，不僅數(shù)學家相信，物理學家相信，一般老百姓也相信。但隨著我們對數(shù)學的認識不斷的加深的時候，就有很多的悖論，包括羅素的悖論等等。這些悖論也就意味著數(shù)學的邏輯不像我們平時想得那樣無所不能、無所不利。我們能做的事就是給它建立一個很堅實的基礎(chǔ)，比如這個世界有狼，那我們就圈一塊地，把狼趕到外面去，然后在圈里面放羊。把數(shù)學就建立在這個領(lǐng)域，這個大廈就非常牢固了。數(shù)學家對這個努力的方向是非常樂觀的，羅素與懷特海就寫過數(shù)學原理三大本書，試圖來做這件事情。羅素是一位非常杰出的數(shù)學家，數(shù)學家拿諾貝爾獎的人很多，但是這位數(shù)學家是通過文學拿的諾貝爾獎，實際他是通過這三本書——《數(shù)學原理》拿的諾貝爾獎。據(jù)說當時正好在諾貝爾獎評選委員會里，有一個人對他這項工作很了解，結(jié)果就頒給他了。拿諾貝爾獎文學獎的數(shù)學家目前只有一個。

偉大的數(shù)學家希爾伯特對這樣一個努力的方向也非常的樂觀，認為我們一定能夠做到這一點，我們必須做到，也將會做到。但他這種樂觀的話說出來之后，朗朗的笑聲沒有多久，在1931年，哥德爾，還是這個哥德爾，他就證明了兩個不完備性定理。第一個定理說，如果你的公里體系包含算術(shù)公里體系，就是我們最常用的體系，因為我們總要處理整數(shù)、算術(shù)這些東西，如果包含這個體系了，必然會有一個命題是沒法判斷它的正確與否的。就像我們剛才（提到的）一樣。歌德爾這個構(gòu)造還要簡單一些，那是更早完成的。另一個不完備定理說，如果有一個公里體系包含了這個算術(shù)公理體系，那么它的不完備性是不能夠由自身證明的。就像在法庭上你不能自證清白。這對希爾伯特的形式化綱領(lǐng)是一個致命的打擊，也宣告他的形式化綱領(lǐng)是不可能實現(xiàn)的。希爾伯特得知這個消息后當然非常的沮喪，更遭的是那個冬天，他還把腿給摔斷了，這顯然是一個不祥之兆。

從數(shù)數(shù)引發(fā)出來的問題，我們可以看到邏輯的詭異性，也揭示了我們認知上的局限性。

數(shù)理邏輯還和計算機科學是密切相關(guān)的，計算機科學能做到哪一步，哪些地方不能做，這個界限有時候還不是特別的清楚。但是我們通過數(shù)理邏輯知道有些東西做不了，還有很多東西能做不能做我們并不知道，比如P和NP問題等等，它反應(yīng)了一些詭異的東西。哥德爾這項工作不僅在數(shù)學界里面，而且在哲學界里面都產(chǎn)生了巨大的影響，他實質(zhì)上和我們的常識或者是一般所想的差的太遠了。在上個世紀70年代有一本書，是獲得美國普利策獎的，書名就是《G.E.B》——一條永恒的金帶。這個G就是哥德爾；E就是埃舍爾，一位荷蘭的畫家；B就是音樂家巴赫。他把哥德爾的不完備性定理和埃舍爾的繪畫以及巴赫的音樂給聯(lián)系起來。你在看埃舍爾繪畫的時候也是很有意思的，它在整個局部上都是非常合理的：水不斷地往高處流，結(jié)果最后整體上看它流到原來地方，或者甚至比原來更低的地方。巴赫的音樂也是，有時候聽了你會感覺到它不斷的深厚，結(jié)果回到原來的地方。那本書就揭示了這中間的一些聯(lián)系，是一本很有影響的書。我們國內(nèi)也有翻譯。埃舍爾的畫科學家也很感興趣，因為它揭示了一些非常奇怪的矛盾現(xiàn)象。印象中間像楊振寧寫的《基本粒子發(fā)現(xiàn)簡史》里面就有一幅插圖，是用了埃舍爾的繪畫。

埃舍爾繪畫作品《瀑布》

在我們有限的生命里面，要認識無限，似乎是一件困難的事情，甚至可能是一件讓人不安的事情。在古詩里面就說了“生年不滿百，常懷千歲憂”，這就表明我們并不甘心局限于自己有限的時空。但無限是令人敬畏的，帕斯卡說過：“當我想到我生命的短暫停留，被前后的永恒所吞噬，我所占據(jù)的小小空間，被我也一無所知的無限廣闊的空間所淹沒，我感到恐懼，這些無邊無際的空間的永恒的寂靜使我害怕?！痹跀?shù)數(shù)的游戲中間，我們就感受到了整數(shù)的無窮和實數(shù)的無窮的差別。數(shù)學非常重要的一個作用是能夠認識無限，這是別的學科做不到的。你沒有看到任何其他的學科能夠做這件事情，哲學討論無限，討論不出個所以然，只有數(shù)學能夠研究無限，這是它神奇的地方。我們利用無限還可以研究有限，例子包括極限、級數(shù)、無限集合等等。在無限里面也有差別，我們剛才已經(jīng)看到了整數(shù)的無限和實數(shù)的無限的差別，在數(shù)學里面專門有個分支研究這種差別，那就是集合論。

對于無限，希爾伯特的認識是非常深刻的，他說：“沒有其他的問題能夠如此深刻的觸動人的精神；也沒有其他的思想能如此富有成果地激發(fā)人的思想邏輯領(lǐng)悟力；然而也沒有其他的概念比無限的概念更需要澄清”。我們常常有個樸素的想法，希望長生不老，其實是跟無窮聯(lián)系在一起的。

3 數(shù)學是什么

我們現(xiàn)在轉(zhuǎn)過來看一些觀點，數(shù)學是那么的有魅力，偉人們從不吝嗇他們對數(shù)學的敬畏和贊美之詞，說出了一些非常深刻的觀點。像古希臘，畢達哥拉斯學派、柏拉圖學派，他們認為數(shù)學是現(xiàn)實的核心。我們常常聽到的觀點“萬物皆數(shù)”源自畢達哥拉斯，他的學派還有類似的表述：“數(shù)統(tǒng)治著宇宙，數(shù)是萬物的本質(zhì)”。柏拉圖學派深受畢達哥拉斯學派的影響，把數(shù)學擺在至高的位置，“純粹思想的最高形式是數(shù)學。”在柏拉圖學院的大門上寫著“無幾何學識者勿入此門”。在柏拉圖的名著《理想國》里面，第七篇有很長的對話討論算術(shù)與幾何的重要性，結(jié)論就是“算術(shù)迫使靈魂使用純粹理性通向真理，幾何是認識永恒事物的，并把算術(shù)和幾何作為青年人必須學習的第一門和第二門功課?！?/p>

古希臘認為“數(shù)學是自然界最真實的本質(zhì)”，有這樣的認識，古希臘在數(shù)學上能夠取得開天辟地的成就，似乎也就不奇怪了。這句話在我們今天的時代應(yīng)該會有更深的體會，在我們今天的社會信息時代里面，什么東西都要數(shù)字化，數(shù)字地球，數(shù)字這個數(shù)字那個等等，其實背后都離不開數(shù)學。

伽利略認為 “宇宙就是用數(shù)學語言寫成的，如果你不懂數(shù)學，要想認識宇宙是不可能的，這些語言的字母就是三角形、圓以及其他的幾何形狀等等?！?/p>

高斯認為“數(shù)學是科學的皇后”。也許大家看過徐遲的報告文獻《哥德巴赫猜想》里面提到過這句話。高斯是被稱為19世紀的數(shù)學王子，是19世紀最偉大的數(shù)學家，也是杰出的物理學家、天文學家、大地測量學家，他的這句話常被人引用，只是不知道高斯把皇帝弄哪兒去了。不過也許大家可以想一下。

維格納是一位獲諾貝爾獎的物理學家，他提到 “在自然科學中，數(shù)學是不可思議地有效，已經(jīng)達到了不合理的程度?！彼倪@個觀點問世以后，引起了長久的討論和引申。

狄拉克也是一位杰出的物理學家，他認為“上帝是一位非常高等級的數(shù)學家，他用非常先進的數(shù)學來構(gòu)造這個宇宙，我們只要在數(shù)學里面有進一步的認識的話，都會有助于我們認識這個宇宙?！蔽抑皇怯悬c奇怪，他為什么不認為上帝是一個最高等級的數(shù)學家，他是不是認為最高等級數(shù)學家還有什么別的人？

在歐洲甚至一些文人對數(shù)學也是贊嘆不已，這和我們國家的文人不太一樣，我們國家的文人好像贊美數(shù)學的很少。我只是看到很多文人寫的作品里面，對數(shù)學是表現(xiàn)極其的厭惡之情，以不懂數(shù)學而自豪等等。伏爾泰認為“數(shù)學必須駕馭我們理智的奔馳，他是盲人的拐杖，沒有它寸步難行。一切確鑿無疑的事實都應(yīng)該歸公于數(shù)學和經(jīng)驗?！边@是一種認識，也是一種信念。法國數(shù)學的強大，不僅是法國數(shù)學界的功績，也有深刻的文化因素。甚至他們的皇帝對數(shù)學也是贊嘆有佳，把它和國家的繁榮富強聯(lián)系起來。拿破侖是19世紀法國偉大的軍事家、政治家、法蘭西第一帝國的提倡者。人們一般都關(guān)注他的軍政成就，其實他在科教方面的成就對法國以后的發(fā)展也同樣是至關(guān)重要的。在法蘭西第一帝國期間，法國制定了保留至今的國民教育制度，成立了公立中學和法蘭西學院來培養(yǎng)人才，鼓勵科學研究與技術(shù)研究事業(yè)的興起。拿破侖本人對科學文化事業(yè)是極為關(guān)注的，掌權(quán)以后他定期出席法蘭西科學院的會議，邀請院士們報告科學進展，把許多獎賞授予科學家，包括外國的科學家。拿破侖的關(guān)注，促進了法國科學的繁榮，出現(xiàn)了像拉普拉斯、拉格朗日、蒙日、卡諾、傅里葉、呂薩克、拉馬克、居維葉等一大批耀眼的科學明星。我們國家的領(lǐng)導人現(xiàn)在對數(shù)學也是非常重視的。

西方國家強調(diào)數(shù)學的還有哲學家，康德是18世紀德國的哲學家，被認為是所有時代最偉大的哲學家之一，他擁有淵博的自然科學知識，對道德有著深刻的理解。他的哲學對德國古典哲學和西方哲學都有深遠的影響，對馬克思主義哲學的誕生也有深刻的影響?！都兇饫硇耘小肥瞧渥钣忻闹?，他認為“數(shù)學科學呈現(xiàn)出一個最輝煌的例子，不借助實驗，純粹的推理就能夠成功的大大擴大人們的認知領(lǐng)域?！标P(guān)于這點，我們前面提到的無理數(shù)就是一個典型的例子，當然虛數(shù)也是個典型的例子，我們后面還會有更多的例子來說明這一點。

我們常常會聽到“馬赫數(shù)”，很多人覺得數(shù)學很難或者什么之類等等，但是馬赫的觀點完全不一樣。他說：“也許聽起來奇怪，數(shù)學的力量在于它躲避了一切不必要的思考和它令人愉快的節(jié)省了腦力勞動。”其實做數(shù)學節(jié)省了很多腦力勞動，你不用辛苦考慮很多東西，因為很多東西的數(shù)量關(guān)系就決定了它們的主要性質(zhì)。

像雷尼的話就更有意思了，他說：“如果我感到憂傷，我會做數(shù)學變得快樂；如果我正快樂，我會做數(shù)學保持快樂?！蔽沂峭耆馑挠^點，做數(shù)學多好。

黑格爾是德國18至19世紀的科學家，德國古典維新主義的集大成者，創(chuàng)立了歐洲哲學史上最龐大的客觀唯心主義體系，并且極大的發(fā)展了唯心辯證法。他的上述觀點（“數(shù)學是上帝描述自然的符號”）和伽利略的觀點是一脈相承的?，F(xiàn)在數(shù)學在社會科學里面應(yīng)用也變得越來越廣泛，在經(jīng)濟里面是一個典型的例子，你要是不懂數(shù)學的話，只做經(jīng)濟學，它的出路并不是很好。

愛因斯坦無疑是上個世紀最偉大的科學家，他的觀點更讓人深思，他說：“純數(shù)學能使我們發(fā)現(xiàn)概念和聯(lián)系這些概念的規(guī)律，給了我們理解自然現(xiàn)象的鑰匙。”他進一步說到，“數(shù)學之所以比一切其它科學受到尊重，”雖然他自己是一個物理學家，“一個理由是因為它的命題是絕對可靠的，無可爭辯的，而其它的科學經(jīng)常處于被新發(fā)現(xiàn)的事實推翻的危險。數(shù)學之所以有高的聲譽，另一個理由就是數(shù)學使得自然科學實現(xiàn)定理化，給予自然科學某種程度的可靠性?！蹦憧吹狡渌膶W科一篇論文半衰期非常短，我們常聽說某些學科五年前的論文到現(xiàn)在已經(jīng)沒什么價值了，但你看歐幾里得《幾何原本》用了兩千多年，勾股定理到現(xiàn)在我們還是一直不停的在用，所以數(shù)學的生命是永恒的，不像其他的學科。即便是偉大的牛頓定理，后來也發(fā)現(xiàn)只是低速世界的定理，在更大的空間里面、更小的空間里面它其實都不適用。小的空間里有量子力學，大的空間有相對論。

4 數(shù)學的純粹和無處不用

對數(shù)學在現(xiàn)實中的用處，華羅庚先生的觀點是非常透徹的，“從宇宙之大、粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之變，生物之謎，日用之繁，無處不用數(shù)學?！蹦憧赡軙⒁獾竭@一點，它其實還是迎合了我們國家一種實用主義的思維。

從華羅庚先生這些話里面，每一句都能引申出很多的東西。比如第一句話中對于無垠的宇宙，離開了相對論要認識宇宙其實是很困難的，前兩年發(fā)現(xiàn)了引力波，其實來源于相對論；在粒子之微這里，有量子力學，包括薛定諤方程；火箭之速也會用到數(shù)學，必須要計算好，不然坐火箭出去旅行，很有可能就回不來；化工里面也是一樣的，它有很多的化學反應(yīng)，微小的實驗尺度里面就會用到微分，大的實驗尺度里面會用到積分；地球之變不用說，現(xiàn)在的天氣預報能夠預報的比以前更準確，毫無疑問數(shù)學起了很重要的作用，包括建模之類的；生物之謎也是一樣的，人為什么演變到今天，它的基因怎么演變的，這里概率和統(tǒng)計就起了很重要的作用。

這里還可以說一個故事，本·拉登前幾年被擊斃了，當時美國的情報人員花了很大的力氣弄清楚他的落腳點。那科學家怎么來看這件事情呢？科學家用了一個模型來推測本·拉登的落腳點，他認為本拉登這個時候的行為跟瀕危動物的行為差不多，所以利用瀕危動物的行為來預測本·拉登的落腳點，最后推測出來他可能在兩個地方落腳，其中一個就是白沙瓦，這就是本·拉登最后被擊斃的地方。你可以看出來，運用科學所得到的結(jié)論，是常常出人意料的。美國的情報人員其實花了很大的力量，同時很多時候是冒著生命危險的，所以現(xiàn)在情報機關(guān)里面雇傭了很多科學家一點兒都不奇怪。在華羅庚先生的話里面，日用之繁，不用說，我們一個最切身的感受就是深受堵車之害，這里數(shù)學可以幫助解決很多的問題，運籌優(yōu)化之類的。還有一件事情也可能有悖于大家的常識，很多時候，路多的時候交通不一定更順暢，封掉幾條路，交通反而更順暢了，這是經(jīng)過實際證明的。

在二次大戰(zhàn)期間，交通因素變得非常的重要，因為要保證物資有效的調(diào)度到前線去。蘇聯(lián)數(shù)學家為此建立了線性規(guī)劃的理論來解決這個問題，當時發(fā)揮了很重要的作用。有意思的事情是，美國經(jīng)濟學家后來把這個理論用到了經(jīng)濟學里，也取得了巨大的成功，結(jié)果在上個世紀70年代這位蘇聯(lián)科學家康托諾維奇，就和美國的經(jīng)濟學家一起拿了諾貝爾獎。數(shù)學家拿經(jīng)濟獎的人還挺多，包括納什，《美麗心靈》的主角，大家都看過這個故事。納什拿諾貝爾經(jīng)濟獎的論文很短，只有兩頁紙的樣子，不像經(jīng)濟學家，寫起論文來都是長篇大論，說起來也頭頭是道，不把你說糊涂一般是不罷休的。為什么這么說呢？也有個笑話說，就某個經(jīng)濟現(xiàn)象發(fā)表看法的話，五個經(jīng)濟學家會有五個觀點，如果這中間還有一個是哈佛畢業(yè)的話，五個經(jīng)濟學家就會有六個觀點，要把他們的觀點統(tǒng)一起來基本是沒有希望的。

我們回到數(shù)學這里來，數(shù)學的抽象當然來源于長期的實踐。它并不是憑空起來的，它的結(jié)論是從概念中運用邏輯方法得出來的，而邏輯方法和概念同樣是以數(shù)千年的實踐為基礎(chǔ)，沒有這些實踐的基礎(chǔ)也不會有今天的邏輯，它同樣以世界的客觀規(guī)律為基礎(chǔ)。數(shù)學的規(guī)律實際上是自然規(guī)律的一部分，只是以抽象的形式反映出來，不過抽象的面目基本上是人見人不愛?，F(xiàn)在數(shù)學的發(fā)展既有外部問題的驅(qū)動，也有內(nèi)在問題的驅(qū)動，內(nèi)在問題的驅(qū)動其實也是現(xiàn)實世界的一個曲折的反映而已，只不過是以抽象的形式表達出來而已，那抽象推導出來的數(shù)學在現(xiàn)實中間有用就一點兒也不奇怪了，數(shù)學的理論還是自然規(guī)律的一部分。

我們看一下兩千多年前希臘人關(guān)于圓錐曲線的研究，在17世紀被用于描寫天體的運動，過了將近兩千年，它才變得有用。黎曼幾何是廣義相對論的框架。歐幾里得出來，后來人們對于第五公式進行了一些反思，因為有些地方跟我們的直覺是不太一樣的。比如過直線外一點做這條直線的平行線只有一條，但是從我們視覺上來講，比如兩條平行線的接軌，一直往遠方看最后交于一點，這個直觀對于繪畫非常重要。對于繪畫的討論包括光線的投影等等，最后產(chǎn)生了攝影幾何，它其實是一種非歐幾何。對于歐幾里得第五公設(shè)的討論形成兩個幾何，一個是雙曲幾何，一個是球面幾何。另一種就是黎曼幾何，黎曼幾何是完全從數(shù)學內(nèi)部產(chǎn)生的。但是到后來相對論出來之后，人們發(fā)現(xiàn)歐式幾何是不適用的，相對論的數(shù)學框架用黎曼幾何正合適，它對引力的解釋也和原來完全不一樣，并不是兩個物體的質(zhì)量之輕重問題，而是說物體質(zhì)量非常大的時候空間是有彎曲的。

另外比方說纖維叢理論在規(guī)范場理論中的應(yīng)用也是一樣的。當時楊振寧對這個事情感到非常的驚訝，就跟陳省身先生交流說：“你們數(shù)學里面憑空做出來的東西怎么會在物理里面非常重要？”陳省身就說：“我們的幾何本來就是現(xiàn)實中的一部分，所以不能說它是憑空產(chǎn)生的。”當然還有很多的例子，包括矩陣和無限維空間在量子力學中的作用，海森堡剛開始把他的量子力學叫做矩陣力學，因為矩陣的乘法具有非交換性。

概率論在統(tǒng)計力學、生物和金融中也有廣泛的應(yīng)用，概率論的來源其實是賭博，很多的數(shù)學在很久很久以前是人們完全憑興趣研究的，后來在自然科學或者其他地方都有想不到的大用處。懷特海德就感嘆道：“對那些只把知識和研究局限于明顯有用的那些人，不會有比如下示例給出更深印象的告誡了：圓錐曲線只是作為抽象科學（的內(nèi)容），被研究了一千八百年，除了滿足數(shù)學家的求知欲外，沒有任何實用的考慮。然而在這漫長的抽象研究的最后，它們被發(fā)現(xiàn)是獲得最重要的自然規(guī)律之一的知識所必不可少的鑰匙。”

我覺得懷特海德的話對我們國家來講，不管是政府也好，還是一般的百姓也好，都是有它的意義的。我們一般都非常關(guān)注“有用”，我們學過很多東西，包括學經(jīng)管，它就是為了掙錢、有用。只是為了興趣去探索未知的東西，這種精神在我們國家應(yīng)該是比較少的。我自己在教學的過程中間也遇到一些這個現(xiàn)象，甚至一年級的大學生就問：“線性代數(shù)有什么用呢？”線性代數(shù)這么技術(shù)的東西當然非常有用，包括在通信里面。這個學生提的問題讓我感到非常驚訝，換句話說他這個時候沒有體會到學習的樂趣，而只是關(guān)心有什么用，這其實很難走遠，不應(yīng)該這樣問。我覺得他是問錯了，他應(yīng)該問有沒有意思，有意思驅(qū)動的話做下去就會走的更遠，因為一直覺得它有意思。你想你在生活中間不就追求一個有意思嗎？這個“有用”，當一個人為“有用”的時候，我懷疑這個“有用”有什么含義呢？你是被別人利用，還是你要利用別人？所以“有用”這個東西推敲下去，結(jié)果好像不太好。

知識通過感性的感覺而產(chǎn)生，逐漸成為考察的對象，最后變成理性的財產(chǎn)。所以我們現(xiàn)在都說知識是人類的財富等等，它確實是一個財富。在我們古代所說的“書中自有黃金屋”，它有一定正確的成分，但還不完全正確，因為它太現(xiàn)實了，包括“顏如玉”等等。我不知道女孩子看到這樣的句子會有什么感受，是不是還希望加一句“還有帥哥在里頭”。

5 數(shù)學的思維之美

數(shù)學的思維方式當然也是一種智慧，這一點尤其重要。在學習數(shù)學的過程中間，掌握了數(shù)學的思維方式，怎么考慮問題等等，這比知識有價值得多。知識可以上網(wǎng)去搜，可以看書、翻書等都沒問題，但怎么考慮問題是能力中一個重要組成部分。我們用兩個例子看一下數(shù)學的智慧。

第一個例子是哥尼斯堡七橋問題。（如下圖）這是一個城市，河流是這個樣子，有七座橋，問題就是能否設(shè)計一條路線通過每一個橋，正好過一次。據(jù)說當時市民周末一個很受歡迎的消遣就是能否設(shè)計一條路線通過每座橋正好一次。但這個問題當時市民都沒有解決，最后大概是一個城市的市長把這個問題交給了歐拉，一個著名的數(shù)學家，歐拉把這個問題解決了。我們看一下歐拉是怎樣解決這個問題的，這個過程體現(xiàn)了抽象的價值和數(shù)學的思維。

首先這條河流把城市分成四部分，每一部分大小其實都不重要，重要的是過橋的路徑設(shè)計，從而可以把陸地抽象為一個點，大小反正無所謂，干脆沒有大小就得了。而橋就抽象成點與點之間的連線，這個圖就畫成這個樣子。簡化成這樣之后，這個問題的本質(zhì)就全部展示出來了，除了起點和終點，走過中間那些點，走到這個點的次數(shù)和走出那個點的次數(shù)加起來必然是一個偶數(shù)，就是說連接那個點的橋數(shù)必然是偶數(shù)?？墒巧蠄D連接四個點的線路，也就是橋數(shù)分別是5、3、3、3，所以不可能設(shè)計一條路線通過每座橋正好一次。歐拉解決這個問題的方式，顯出了抽象的價值和數(shù)學的智慧，這是圖論的開始，也是拓撲學的一個先聲。圖論在信息科學中間，包括網(wǎng)絡(luò)和芯片設(shè)計，都非常有用。

說到數(shù)學思維我們還舉一個例子，二戰(zhàn)期間很多數(shù)學家參與了戰(zhàn)爭，包括圖靈等人破譯密碼，也包括很多統(tǒng)計學家分析數(shù)據(jù)等等。其中有一件事情就是很多戰(zhàn)機出去空戰(zhàn)的時候，很多被擊落了，也有很多又回來了，回來的很多戰(zhàn)機上面就布滿了彈痕、彈眼之類的，這就需要分析在哪些地方需要加固。空軍提的建議是，應(yīng)該在彈孔最多的地方加固，但數(shù)學家提出的意見是，應(yīng)該在彈孔最少的地方加固。為什么？彈孔最多的都能飛回來，意味著這個地方多打幾個彈孔也沒關(guān)系，這就是個缺失數(shù)據(jù)的問題。彈孔少的地方，比如說發(fā)動機，因為被擊中后基本就是栽下去，回來的不多。數(shù)學家提出的觀點和軍方是完全相反的，后來事實證明數(shù)學家是對的，他挽救了很多飛機和飛行員的生命。

另外再舉個例子，就是晶體的分類。我們都很喜歡鉆石，非常的漂亮，還有雪花也很美，他們都是晶體。晶體有多少種？這是很實際的問題。晶體的主要特點是對稱，由外部的對稱和內(nèi)部的對稱結(jié)構(gòu)來決定，晶體的對稱性對晶體的種類帶來了很強的約束。數(shù)學中間研究對稱的分支是群論。外部的對稱是很容易確定的，關(guān)于內(nèi)部的對稱，舍去了晶體的所有物理性質(zhì)。僅從幾何對稱性的角度考慮晶體，在1885年到1890年期間，俄國的晶體學家費多羅夫就確定了晶體的微觀的對稱形式230種。他的這項工作后來是晶體實驗工作數(shù)學理論的基礎(chǔ)，對晶體的內(nèi)部結(jié)構(gòu)的確定發(fā)揮了巨大的作用。包括1912年德國人勞厄，以及包括后來英國人布拉格父子，他們對晶體內(nèi)部結(jié)構(gòu)的確定等等，這些數(shù)學理論都起了非常重要的作用。勞爾和布拉格父子先后于1914年和1915年獲得了諾貝爾獎。群論是研究對稱的一個基本工具，在物理中間非常重要，不過它的來源非常有意思，它是解方程產(chǎn)生的。

6 數(shù)學的邏輯之美

很多人都感到數(shù)學有一種特殊的美感，他們也曾經(jīng)做過生理上的分析，發(fā)現(xiàn)這個美感和看到漂亮風景、帥哥靚女之類，神經(jīng)反應(yīng)好像差不多的。事實上還有一些物理學家，對數(shù)學之美的感受是很強烈的，對數(shù)學的美的追求也是無盡的。外爾對數(shù)學美的態(tài)度就是這樣，“我的工作總是設(shè)法把真與美統(tǒng)一起來，但如果只能選擇這個或另一個時，我常常選擇美?！币话阄覀冏非笳嫔泼?，但好像從道德上來講，這樣做是不對的，但數(shù)學里面的美很可能是更高層次的真實。就像在我們所認識的世界里面，你的認識是有一定局限的，但美是一個原則，讓你發(fā)現(xiàn)更高層次的真實。外爾寫的《群論與量子力學》1928年首次出版，非常的有名，據(jù)說當時的理論物理學家都會把這本書放在書架上，但都不看，因為里面的數(shù)學太難了。物理學家對數(shù)學家寫的書好像好感并不多，他們的評價大概是這樣的，認為數(shù)學家寫的書有兩種：第一種是看了一頁就看不下去了，第二種是看了一行就看不下去了。

哈代是20世紀杰出的分析學家，也是他所在的時代英國最杰出的數(shù)學家，他的一個數(shù)學家的獨白表達了他對數(shù)學的看法，影響頗廣。他也是一個唯美主義者，他認為“美是（數(shù)學的）第一道檢驗：難看的數(shù)學在這個世界上沒有長駐之地。”

狄拉克認為，“物理定律必須有數(shù)學的美，上帝用美麗的數(shù)學創(chuàng)造了這個世界?！钡依朔匠叹褪且粋€典型的例子，它是個很有名的方程，楊振寧對它也是非常贊嘆的，專門有文章提到這件事情，就是利用這個方程，人們發(fā)現(xiàn)了正電子。當初根據(jù)已有的實驗結(jié)果來講，它的方程不是這樣的。但他認為根據(jù)實驗結(jié)果得出的方程不美，所以就給修改了，修改之后很多東西又解釋不了，他就大膽地預言應(yīng)該還有一個例子沒有發(fā)現(xiàn)，后來果然通過實驗發(fā)現(xiàn)了。他對這個公式當然也是非常的喜歡。也有一個很牛的物理學家費曼，課講的非常好，有次大概因為開會，這兩個人（費曼和狄拉克）碰在一起了，長時間的沉默之后，狄拉克就冒了一句話，“我有一個方程，你有嗎？”估計費曼當時非常的郁悶。物理學家也好，數(shù)學家也好，獨特的人是非常多的，英文有個詞叫eccentric（中文譯為怪人），在我們國家對eccentric好像沒那么寬容，西方文化對他們要寬容一些。

羅素說：“數(shù)學，如果正確地看，不但擁有真理，而且也有至高的美?！绷_素是數(shù)學家，也是哲學家，獲得過諾貝爾獎文學獎。他所寫的《西方哲學史》從一個哲學家的角度，而非哲學史家的角度看待西方的哲學史，那獨特的視角、脈絡(luò)清晰，文筆也非常的流暢，但又不乏幽默，所以他對美的認知自然有非常廣闊的背景。

如果你覺得數(shù)學不美的話，從某種意義上講我不太建議你去學數(shù)學，或者你至少培養(yǎng)了美感之后再去學數(shù)學。數(shù)學美的含義到底是什么？這個問題提得多了之后，我覺得就要想一想它到底什么內(nèi)容？后來我發(fā)現(xiàn)它大概有以下的內(nèi)容：形式上要清晰、簡潔，還有就是要簡單、原創(chuàng)、新穎。不新穎的話，老生常談，不會有美的感覺；還有就是很優(yōu)美，以及一個很重要的就是不同對象之間的聯(lián)系，這一點大家以前可能沒有意識到其實是非常重要的。它的內(nèi)涵必須要非常深刻、重要，還有基本和蘊意豐富，從這個基本的對象出發(fā)，能解釋很多其他的東西。它的證明要清晰、干凈利落、巧妙。

我們用一些例子來說明一下這些觀點。第一個就是勾股定理，勾三股四弦五，我們常常理解起來就是3^2+4^2=5^2這樣一個等式而已。但實際上它揭示了3、4、5這三個數(shù)的聯(lián)系，這是非常重要的。勾股定理我們知道，三角形的直角邊的平方和等于斜邊的平方，以前我們理解起來，就是這兩個邊能夠求出第三邊，其實這只是它價值很小的一部分，更重要的是這三個邊之間的聯(lián)系。我國古代趙爽給了一個很漂亮的證明，他把四個直角三角形拼起來得到一個大的正方形，里面包含一個小的正方形，比較一下面積就能夠得到勾股定理的證明。這里你能感受到這個證明的清晰、干凈、利落和巧妙，和一種美感。定義的本身也是非常簡潔優(yōu)美的，它的內(nèi)涵是非常豐富的。

比方說我們應(yīng)用這個定理，我們就知道，平面上以原點為圓心、半徑為r的方程，它就是一個很漂亮的方程，x^2+y^2=r^2。關(guān)于它的蘊意的豐富，我們其實可以從這里提出很多的問題來，這些問題在中學就可以讓老師告訴學生，但是一般老師好像并沒有這樣啟發(fā)學生。比方說什么樣的正整數(shù)能夠成為直角三角形的邊長？這樣的問題有趣，但還不算太難。另一個問題，如果邊長都是整數(shù)，它的直角三角形面積是不是也是整數(shù)？這也比較簡單。到了第三個問題，你就會發(fā)現(xiàn)它是驚人的難，如果直角三角形的邊長都是有理數(shù)，什么情況下它的面積是整數(shù)？我們可以舉一個例子，3/2、20/3、41/6，它是一個直角三角形的三個邊長，它的面積是5?？雌饋磉@個問題好像不太簡單，這個問題其實已經(jīng)有一千年的歷史，是古埃及人提出來的。157就是這樣一個整數(shù)，以157為面積的最簡單的有理直角三角形的三個邊長，大家可以看一下，分子分母都會有40多位。大家可能想不到這里面會有這么復雜的數(shù)據(jù)在這里頭，你更想不到這個問題它會和BSD猜想（編注：全稱Birch and Swinnerton-Dyer 猜想）聯(lián)系在一起。BSD猜想到目前為止誰也沒能夠證明它，已有的結(jié)果離完全解決遙遠得很，因為它是關(guān)于橢圓曲線的一個問題，也是克雷數(shù)學研究所幾個千禧年的問題之一。換句話說如果你能夠證明它，能拿到100萬美元，也有著享譽全世界的學術(shù)聲譽。

我們前面提到過，歐幾里得的一個證明說素數(shù)有無窮多個。素數(shù)是一個數(shù)學的基本對象，里面神秘的東西非常的多。歐幾里得證明同樣干凈利落，富有美感。假設(shè)這個結(jié)論不對，只有有限個素數(shù)，那我把這有限個素數(shù)乘起來再加1，那這個新的數(shù)M，前面N個素數(shù)都不會是它的因子。所以M的素因子就會和前面那n個素因子不一樣，這是一個矛盾，所以素數(shù)有無窮多個，這個定理就非常完美的被證明，好像就沒什么事情可以做了。但數(shù)學家他從來都不會這樣考慮問題，就像龐加萊所說：“我們從來沒有完全理解過一個問題，我們只是對這個問題理解的更深了一點、更多了一點?！彼財?shù)看起來很容易明白，但可能是數(shù)學里面最神秘、最難以琢磨的一個對象。你會有很多問題接二連三的產(chǎn)生，比方說素數(shù)在自然數(shù)中間占有多大的比例？這個問題很難回答，你可以把它變得更容易琢磨一點，就1到N之間有多少個素數(shù)？這個問題到現(xiàn)在為止沒有一個人能夠回答。關(guān)于素數(shù)有無窮多個，后來歐拉有個更好的證明，歐拉的證明對數(shù)學產(chǎn)生了一個巨大的影響，包括產(chǎn)生了歐拉函數(shù)（Euler'totient function）等等，今天我們不會有時間談這些。

還有一個看上去非常簡單的問題——哥德巴赫猜想，每個大于2的偶數(shù)都是兩個素數(shù)的和，比方說6可以寫成3+3，20可以寫成13+7等等，但是誰也沒有能夠證明這個結(jié)果。到目前為止最好的結(jié)果還是四、五十年前我國數(shù)學家陳景潤做的，他證明了“1+2”，它的含義就是充分大的偶數(shù)都能夠?qū)懗梢粋€數(shù)字加上另一個數(shù)，另一個數(shù)的素因子不超過兩個。陳景潤的這項工作隨著徐遲的報告文獻傳遍我國大江南北，敬仰、愛慕的信件如雪片般的飛過來，這個盛況后來再也沒有出現(xiàn)過。徐遲報告文獻的副產(chǎn)品就是，大家都知道數(shù)學家連1+1都弄不清楚，原來1+1還是這么高深的數(shù)學。

曾有人和我說起陳景潤的工作，他是完全從字面上來理解“1+2”的。我試圖給他解釋陳景潤工作中“1+2”的含義，他聽后斜看了我一眼，說我不懂。我當時無語，覺得做科普還是很不容易的，同時也發(fā)現(xiàn)人們是多么的執(zhí)著于自己不合事實的理解，可能這和他的自尊心、心智安全感也是分不開的。

另一個看起來簡單的問題就是孿生素數(shù)猜想，比如3和5，41和43，他們都是相差2的素數(shù)對。它的問題是，這樣的素數(shù)對有沒有無限多個？2013年華裔數(shù)學家張益唐在這個問題上取得巨大的突破，他證明了存在無窮多對素數(shù)，每一對素數(shù)的差都不超過7000萬。張益唐結(jié)果哄動一時，他本人在逆境中也保持對理想追求的故事也是非常勵志的，他感動了世界。

講到數(shù)學美的時候我們還可以提一個例子。前面提到過根號2不是有理數(shù)，我們可以給一個很嚴格的證明。假設(shè)這個結(jié)論不正確，它是兩個整數(shù)的比，x=a/b，我們可以要求分子分母沒有公因子，那么去分母之后得到xb=a。然后做平方得到x^2b^2=a^2，從而就是2b^2=a^2，所以a肯定是偶數(shù)。然后再把2b^2=a^2代進去之后，會得到b也是偶數(shù)，這樣就會有一個矛盾了，所以這個假設(shè)是錯的，所以它必然是一個無理數(shù)。

我們在小學的時候都學過圓，也知道圓周率（π），大家都計算過圓周求面積等等，不過好像沒有想過圓周率這個數(shù)是不是有理數(shù)或者無理數(shù)，這里反應(yīng)一個問題就是我們提問題的能力是比較弱的。不知道大家注意到?jīng)]有，很多的問題都是外國人提出來的，我們自己提的問題或者我們自己開創(chuàng)的理論是比較少的，這其實反應(yīng)出來我們思維上的一個局限，愿意跟隨而不愿意開創(chuàng)。

π這個數(shù)不僅是一個無理數(shù)，而且還是個非常無理的數(shù)，它是一個超越數(shù)。這個事情到1882年才由林德曼證明，他也證明了古希臘的畫圓為方的問題是不可能的。

7 數(shù)學的形美

我們前面談的美基本上都是思維和邏輯的美，其實數(shù)學里面當然也不缺少形美，畢竟形是數(shù)學研究的對象，形里面充滿了更易感知的美。這兩個圖像來自于極小曲面與分形幾何，分形幾何是研究海岸線發(fā)現(xiàn)的，后來成為一個很漂亮的應(yīng)用數(shù)學分子，在細胞分裂的研究中也有應(yīng)用。極小曲面很漂亮，也很有用。就如同他們證明正質(zhì)量猜想的時候，極小曲面就是很關(guān)鍵的工具。

還有動力系統(tǒng)，動力系統(tǒng)大家知道跟渾沌是有關(guān)的，兩個天體之間的運動軌跡通過萬有引力就可以確定，但三體運動這個事情就變得比較復雜了，當時瑞典皇家科學院提出這個問題，要求把這個問題搞清楚。對這個問題龐加萊做了創(chuàng)新性的工作，他剛開始的論文雖然獲獎了但有嚴重的錯誤，后來更正了。數(shù)學動力系統(tǒng)就從那里產(chǎn)生，他發(fā)現(xiàn)這個問題非常不簡單，存在多種情況。動力系統(tǒng)過去幾年在數(shù)學里面是非?；钴S的，好幾位數(shù)學家因為動力系統(tǒng)的工作拿了菲爾茲獎，包括C.T.Mcmullen，包括兩年前去世的一位女數(shù)學家米爾扎哈尼（Maryam Mirzakhani），這是目前唯一一位拿菲爾茲獎的女數(shù)學家，她也是C.T.Mcmullen的學生，是個伊朗人，很可惜。去世的還有一位數(shù)學家，就是弗拉基米德·福沃特斯基。動力系統(tǒng)在直觀上來講是非常簡單的，一個微小的初始變幻，可以帶來巨大的結(jié)果上的差別。在氣象學里面有一個很形象的說法，在巴西雨林里面的一個蝴蝶抖一下翅膀，紐約可能就會下一場大雨。

右邊這個圖形是一個卡拉比-丘流形，這應(yīng)該是丘成桐最有名的工作，他證明了卡拉比猜想?？ɡ犬敃r猜想有一類流形，丘成桐試圖去證明這個猜想，后來他發(fā)現(xiàn)這個猜想可能是錯的，就去證明這個猜想是錯的，然后就在一個會上做報告。完報告后，臺下的聽眾覺得他講的很得有道理，所以也就對這個猜想不再關(guān)心了?？ɡ纫舱迷谂_下，聽完報告回去后覺得哪個地方不太明白，就讓丘成桐再解釋一下。丘成桐當然要試圖解釋這個疑問，但是一個星期過去之后，好像沒辦法解釋，兩個星期過去了也沒解釋了，后來意識到他做錯了。換句話說，丘成桐先生也有窘迫的時候。這其實告訴我們，每個人都有可能出錯，包括偉大的數(shù)學家。很多老師可能在上課的時候都有卡住的情況，但“牛人”的做法一般人可能未必做得到，比方說大數(shù)學家希爾伯特在講課的時候也會突然卡住愣在臺上，他愣一下后會轉(zhuǎn)過身來對學生說“??！這顯然的，你們自己去證吧！”

丘成桐意識到自己最初對卡拉比猜想工作有錯誤之后，他就朝另一個方向努力，再次證明這個猜想，過了三年終于把這個猜想證明了。因為這個工作和正質(zhì)量猜想的工作，后來他拿了菲爾茲獎。他的這個工作的影響在數(shù)學里面是非常大的，丘成桐先生是幾何分析這個方向一位非常重要的創(chuàng)始人。不但如此，這類流形在物理中間也非常重要，人們發(fā)現(xiàn)在弦的里面，正好需要這樣一個空間，所以他在物理界里面也是名動江湖。

8 那些有個性的數(shù)學家

數(shù)學家對美是非常有熱情的，很多東西不美的話他不會追求。當然數(shù)學家也是一群有特殊天賦的人，他的個性也是多種多樣的。

維納，控制論的創(chuàng)始人，也是一位杰出的數(shù)學家，他在上世紀30年代訪問過中國，對華羅庚非常欣賞。有一天他要搬家了，到一個新地方，可他對于這種事情不上心。（他的家人）老早就告訴他，當天還給了他一張新地址的紙條，讓他這一天一定回到新的家里。但他回家的時候把紙條弄丟了，習慣地回到老地方，卻發(fā)現(xiàn)家不見了。他看見一個女孩就問：“對不起，也許你認識我，我是諾伯特·維納，我們剛搬家，你知道我們搬到哪兒去了嗎？”那女孩非常愉快的回答說：“是的，爸爸，媽媽就知道你會忘記的。”

德林才氣過人，因為證明了韋伊猜想獲得了菲爾茲獎。他說：“能否做數(shù)學難題只是心理問題?！边@頗有點“說我行，我就行；說我不行，我就不行”的味道。這個說法也呼應(yīng)了一個廣為流傳的真假莫辯的故事。說某個很牛的大學里面，有一天也許因為天氣不好，班上一位非常杰出的學生遲到了。他到了一看課已經(jīng)結(jié)束了，黑板上只留了一些題目，這位學生是非常優(yōu)秀的學生，就當作課后作業(yè)拿回去做了。（做的過程中）他發(fā)現(xiàn)這些題挺難的，花了一個星期時間只做出來其中的六道，然后他就有點狼狽的拿給教授說“真是抱歉，這題目有點難，我只做出六道”。教授毫無疑問的感到震驚：“什么？你把這些給解決掉了？這些都是我們這個領(lǐng)域里面大家正在努力解決的難題！”這個學生感到非常吃驚。所以做數(shù)學有時候是個心理問題，你覺得它是個作業(yè)的話大概就能把它做出來，如果覺得它是個難題很可能就做不出來。有點糟糕的是這個學生后來再也沒有做出更好的工作，他當了系主任之后這樣說：“我們是這樣選系主任的，誰不能做研究的話我們就選他當系主任?！?/p>

匈牙利數(shù)學家埃爾德什是有傳奇色彩的，他無固定的居所，總在旅行，到一處就與那兒的數(shù)學家合作，所以合作的數(shù)量驚人。他認為“數(shù)學家就是把咖啡變成定理的裝置?！?/p>

西格爾是第一屆沃爾夫獎的得主，非常聰明，也很努力。

小平邦彥，杰出的日本數(shù)學家，他在上個世紀50年代就拿了菲爾茲獎。他常說自己天資不好，做事一絲不茍，全身心的投入，第一次學范德瓦爾登的《代數(shù)學》時什么也沒看明白，看不明白怎么辦？他就抄，一直抄到明白為止。我想有他這樣的勁頭的話，沒有什么學不明白。

數(shù)學家經(jīng)常犯錯，我們剛才提到丘成桐先生也會犯錯誤。對這個犯錯來講，有些錯誤是好的，有些不太好。丘成桐犯的錯誤就是個好的錯誤，最后導致了問題的解決。一位數(shù)學家這樣評價他的一位同事，“他犯了很多錯誤，但都是朝著好的方向犯的。我試著這樣做，但發(fā)現(xiàn)犯好的錯誤是很困難的?！?/p>

開爾文，就是大家知道的開氏溫度的“開氏”，他是這樣評價數(shù)學家的：“數(shù)學家就是這樣的人，他覺得下面這個公式是很顯然的?！比绻阋灿X得這個公式顯然的話呢，你們就會是數(shù)學家。他說劉維爾就是一個數(shù)學家。劉維爾還辦了一個非常高水平的雜志——《劉維爾雜志》。

笛卡兒是數(shù)學家，也是哲學家。數(shù)學上他創(chuàng)立了《解析幾何》，哲學上他提出“我思故我在”，引起人們對意識與存在的關(guān)系的一個審視。有一個傳言，說他與瑞典公主克里斯蒂娜戀愛，文字傳情會被皇室審查受阻，于是他就用了一個極坐標方程表達他的愛情。幸好那個女孩也是對數(shù)學非常明白的一個人，她把這個方程轉(zhuǎn)化成一個心型，從而明白了笛卡兒的心意。這么說來數(shù)學不僅是描寫大自然的語言，也是描寫愛情的語言。

我的報告說完了，謝謝大家！

Q & A

問：學數(shù)學的出路何在、以后可以干什么、要是不轉(zhuǎn)行一直留在數(shù)學專業(yè)的話，您有什么經(jīng)驗之談？

答：我想有迷茫是非常正常的，但其實在報告里面也講到了，數(shù)學是現(xiàn)實的一個核心，把這個核心都掌握了的話，我想將來的出路是非常寬廣的。你（現(xiàn)在）最重要的事情就是把數(shù)學學好，如果不轉(zhuǎn)行一直留在數(shù)學這個專業(yè)里，根據(jù)自己的興趣，如果愿意做研究就做研究，如果愿意做應(yīng)用可以做應(yīng)用，它的整個的就業(yè)前景是非常廣泛的。其實過去很多年來，在美國，學數(shù)學的職業(yè)前景一直都是排在前十的，很多年都是排在第一位，數(shù)學的就業(yè)是不用擔心的。更重要的是第一把自己的功課學好，第二找到自己的興趣所在，是愿意做學術(shù)、還是愿意解決實際的問題等等?？梢酝ㄟ^自己不斷地探索，同時也可以跟老師探索、跟同學探索到底哪個地方自己真正有興趣，探索清楚這樣一件事情，我想方向也就明確了。

問：能否講講群環(huán)域這些代數(shù)結(jié)構(gòu)的發(fā)展背景，并給一些學習上的建議？

答：抽象代數(shù)的發(fā)展應(yīng)是20世紀初，有一本比較好的數(shù)學史的書能夠幫助你了解它的歷史，就是克萊因?qū)懙摹豆沤駭?shù)學思想》。在學習中你要重視了解的是抽象與具體的聯(lián)系，要知道群的產(chǎn)生跟解方程是密不可分的，它實際上是產(chǎn)生于一些很具體的對象。在數(shù)論里面也有很多群的概念，包括交換群，同于能夠產(chǎn)生有限環(huán)等等。所以你一定要理解抽象與具體的聯(lián)系，對每一個抽象的概念，包括重要的定理，應(yīng)該盡可能的用很多具體的例子，來幫助你理解。一旦把抽象和具體的聯(lián)系關(guān)系處理好，近世代數(shù)里面所有的抽象就變得內(nèi)容豐富了，而通過具體的例子，也能夠幫你了解、思考、提出問題以及把握中間的真正實質(zhì)。

問：請問應(yīng)該如何結(jié)合數(shù)學的意義，在數(shù)學教學中去發(fā)展學生對數(shù)學的學習興趣呢？或者對數(shù)學教學進行優(yōu)化？

答：這應(yīng)該是一個非常普遍的問題，不僅中國存在這個問題，世界上其他地方也存在這個問題。我想這并沒有一般的靈丹妙藥，數(shù)學里面有很多有趣的東西，必須針對具體學生的領(lǐng)悟程度等，通過適當?shù)姆绞桨阉鼈冋宫F(xiàn)出來。數(shù)學的一個特點是抽象，但它的抽象包含了很多實際的內(nèi)容，用這些實際的內(nèi)容來展示數(shù)學，比方說之前提到的數(shù)學的形美，可以通過畫一個漂亮的橢圓來展示，就直觀上讓學生感受到很多有趣的東西，通過慢慢給他們這些直觀的感受，使他們能感到有趣。我想經(jīng)過努力，他們會感到數(shù)學是非常有意思的，并且愿意學下去，但是到底能學到哪一步還是因人而異的。

問：如何看待數(shù)學天賦，基本功與數(shù)學成果的關(guān)系？

答：從這個（網(wǎng)友的）名字來看，他對Andrew Wiles是非常敬仰的。那么其實Andrew Wiles的故事就能夠給他很多啟發(fā)，首先Andrew Wiles當然很有天賦，他在很小的時候，在童年的時候，對費馬大定理就非常的有興趣，所以興趣和天賦對于數(shù)學來講是需要的。但是Andrew Wiles是非常努力的一個人，當他感到他能做出（某項研究）來的時候，就有幾年的時間，其中就沒有做過（其他）事情，其他的活動盡可能少的參與。沒有一個很好的基本功要做很好的數(shù)學是不可能的一件事情。但是怎么樣把基本功打好，這也并不是一件很容易的事情。除了自己努力學以外，很多東西必須要很好的老師給你指點，讓你明白這個枯燥的東西背后的本質(zhì)是什么。所以既要有天賦也要努力，再加上優(yōu)秀的老師指點的話，最后取得優(yōu)秀的數(shù)學成果是順理成章的一件事情，水到渠成。

問：現(xiàn)在在上研究生，但感覺一直游離在數(shù)學的邊緣，就像接觸了一個物體，只知道這個物體重要，現(xiàn)實也很多地方用到它，卻不知道內(nèi)部是怎樣的。如何才能真正進入到數(shù)學的領(lǐng)域？怎么樣的狀態(tài)才算是真正進入數(shù)學領(lǐng)域？

答：我想這位同學這個感覺非常的好，他至少知道自己沒有弄明白東西，這就給他一個提升的空間。如果他覺得弄明白的話，這可能是更糟糕的事情。既然覺得沒弄明白，就表明他還可以繼續(xù)努力。他需要把這個問題具體化，比方說覺得看書看不懂，哪里不懂必須要弄明白，必須要跟老師、跟別人來交談。對于哪一本具體的書，哪個具體的問題不懂，如果僅僅是空泛談不懂的話，是解決不了問題的。必須把這個問題落實到某個具體，一旦他在某個地方突破了這個障礙之后，我想他可能對整個數(shù)學的感受就完全不一樣了。把一個讓他最最苦惱不明白的一本書拿出來，這本書里面到底是哪個地方不明白，不明白在什么地方，（通過）仔細跟人討論，把這個不明白的問題給明確下來。很多時候這就是個探索的過程，就像龐加萊說的：“其實我們從來就沒弄明白過一件事情，只是我們不斷的加深理解?！彼詻]有弄明白這個事情很正常，需要不斷地探索，可以自己探索、看書、跟別人討論，但一定要把自己在哪個地方不明白弄清楚，如果自己在哪個地方都不明白的話，那就說明你還要在搞清楚不明白哪個問題這件事情上花更多的時間。

問：學高等代數(shù)的時候是很久以前了，沒有機會讀“基礎(chǔ)代數(shù)”，不過聽說還沒有第三卷，什么時候出版呀？高等代數(shù)沒學好，所有東西用起來感覺都是鏡里觀花，很機械。怎樣能把代數(shù)學好用好？

答：第一個問題比較簡單，第三卷已經(jīng)送到出版社去了，應(yīng)該在9月份左右 (出版），我希望它9月份能夠出來。

那高等代數(shù)沒有學好呢，有幾個原因，第一個可能用的教材不夠好，第二個可能老師教的不夠好。他需要理解高等代數(shù)里面最本質(zhì)的東西是什么，其實高等代數(shù)里面最重要的一點，它是從解方程這里發(fā)展起來的，表面上看起來通過消元法可以解出所有的方程，但事實上你發(fā)現(xiàn)變量的個數(shù)一大之后，這個辦法肯定是不管用的。那在這個時候，對這個方程來講它就有很多內(nèi)在的結(jié)構(gòu)，包括系數(shù)矩陣的秩，增廣矩陣的秩等等，這個秩就反映這個方程可解不可解。還有你做消元法的時候，你發(fā)現(xiàn)是對它們系數(shù)作些運算，這里面產(chǎn)生向量空間，方程的關(guān)系實際就是向量之間的線性組合、線性關(guān)系、相關(guān)無關(guān)等等。還有就是矩陣，你抓住了線性方程以及相關(guān)的概念之后呢，你發(fā)現(xiàn)很多東西應(yīng)該都是比較容易理解的，它的目的還是解方程。那么你發(fā)展的很多東西，反過來一方面是數(shù)學理論，拓展了這個空間，一方面它也對這個線性方程達到一個更深的理解。這個也是不斷深入、不斷交替的過程，已經(jīng)有了線性空間之后，包括歐式空間里面，包括各種各樣變換產(chǎn)生的群，就會變得更為豐富，應(yīng)用更為廣泛。這個歐式空間里面，這個距離，最后的話對無解的方程可以有最小二乘法等等，給出一個近似解。

你發(fā)現(xiàn)通過解方程這樣一個脈絡(luò)下去理解高等代數(shù)的話，很多東西都會變得比較容易理解，不管是對方程也好，對理論也好，這個在我書里你多讀幾遍能夠看得出來。